Grupos de Veech y mapas regulares en superficies de género infinito

Abstract

Our dissertation thesis give us main results in two different branches of the mathematics, Differential Geometric and Combinatory. In the first one branch, we prove that the groups P and P 0 can be realized as Veech group of a tame translation surface with ends space homeomorphic to any closed subset of the Cantor set and each one end of the surface has infinite genus. Also we show that every countable subgroup of the General Lineal Group without contracting elements, can be realized as Veech group of a tame translation surface homeomorphic to the Blooming Cantor tree. In the same way, we show that every countable subgroup of the General Lineal Group without contracting elements, can be realized as Veech group of a tame translation surface with ends space appropriate and each one ends of the surface has infinite genus. In the second one branch, Combinatory, we prove that the only no-compact and no-orientable surfaces that admit regular maps are the plane and the Loch Ness monster.

Nuestro manuscrito aporta resultados en dos diferentes áreas de las matemáticas, Geometría Diferencial y Combinatoria. En la primer área, Geometría Diferencial, probamos que los grupos P y P 0 son realizables como grupos de Veech de una superficie de translación mansa con espacio de fines homeomorfo a cualquier subconjunto cerrado del conjunto de Cantor y cada fin de la superficie es de género infinito. Además, mostramos que para cualquier subgrupo numerable y sin elementos que contraen del grupo general lineal, este puede ser realizado como grupo de Veech de una superficie de translación mansa homeomorfa al árbol florido de Cantor. Asimismo, probamos que cualquier subgrupo numerable y sin elementos que contraen del grupo general lineal, puede ser realizado como grupo de Veech de una superficie de translación mansa con espacio de fines adecuado y cada fin de la superficie es de género infinito. En la segunda área, Combinatoria, probamos que en las únicas superficies no compactas y orientables en las cuales se pueden realizar mapas regulares son el plano y el monstruo del lago Ness.