Let G be a group. A family F of subgroups of G is a set of subgroups of G which is closed under conjugation and taking subgroups. A model for the classifying space EF(G) for a family F of the group G is a terminal object in the G-homotopy category of G-CW complexes whose isotropy groups belong to F. Classifying spaces for families have been important in many areas of mathematics. They appear in the Farrell-Jones and the Baum-Connes conjectures. Although there always exist models for EF (G), they could be in nitely dimensional. Let VCY be the family of virtually cyclic subgroups of the group. In this thesis we study the dimension of models for classifying spaces for the family VCY. Let H be any of the following groups: 1. the mapping class group of a surface S; 2. for m 3, the m-congruence subgroups of the mapping class group of S; 3. The surface braid group of closed surfaces of genus g 2; where S is an orientable compact surface possibly with punctures and negative Euler characteristic. We prove that H admits nite dimensional models for EFH and we give bounds for the dimension.
Sea G un grupo discreto. Un conjunto F de subgrupos de G, es llamado una familia de G si es cerrado bajo toma de subgrupos y conjugación. Un modelo para espacio clasificante EF (G) para una familia F de G, es un G-CW-complejo que es un objeto terminal en la categoría de G-CW-complejos con subgrupos de isotropía en F y morfismos G-homotopías. Los espacios clasificantes para familias han sido muy estudiados y son importantes en varias áreas de matemáticas, tales como teoría de grupos, topología algebraica y geometría algebraica. Una de las motivaciones para el estudio de modelos para estos y sus propiedades de finitud es porque ellos aparecen en las Conjeturas de Farrell-Jones y Baum-Connes. Siempre existe un modelo para EF (G), pero podría ser de dimensión infinita. Denotaremos por VCY a la familia de subgrupos virtualmente cíclicos de G. En esta tesis estudiamos la dimensión para la cual existe un modelo para espacio clasificante para la familia VCY. Sea H cualquiera de los siguientes grupos: 1. El grupo modular de una superficie S; 2. El m-subgrupo de congruencia del grupo modular de S; 3. El grupo de trenzas de superficie cerrada de género g 2; donde S es una superficie orientable compacta posiblemente con perforaciones y característica de Euler negativa. Probamos que H admite un modelo para EVCYH de dimensión finita y damos cotas para la dimensión.
