Representación espinorial de superficies lorentzianas en R2,2

Abstract

The study object of the thesis is the spinor representation of a Lorentzian surface in the pseudo Euclidean space R2; 2: We prove that an isometric immersion of a simply connected Lorentzian surface in R2; 2 is equivalent to a normalized spinor eld solution of a Dirac equation on the surface. Moreover, using the quaternions and the Lorentz numbers, we give the explicit relation between the isometric immersion and the spinor eld by means of an explicit representation formula, which may be regarded as a generalized Weierstrass representation formula. Applying the representation formula in R2;2 we obtain a new spinor representation of a Lorentzian surface in the three dimensional pseudo space forms of R2;2: We deduce a generalized Weierstrass representation of a Lorentzian surfaces in R2;2: Finally we use the representation formula to give the local description of a at Lorentzian surface with at normal bundle and regular Gauss map in R2;2; and to give a conformal description of a at Lorentzian surface in the pseudo spheres of R2;2:

El objeto de estudio de la tesis es la representación espinorial de una superficie Lorentziana en el espacio pseudo Euclidiano R2; 2: Probaremos que una inmersión isométrica de una superficie Lorentziana simplemente conexa en R2; 2 es equivalente a un campo espinorial normalizado que es solución de una ecuación de Dirac sobre la superficie. Además, usando los cuaternios y los números de Lorentz, daremos la relación explícita entre la inmersión isométrica y el campo espinorial por medio de una fórmula de representación, que puede ser considerada como una formula generalizada de Weierstrass. Aplicando la fórmula de representación obtenemos una nueva representación espinorial de una superficie Lorentziana en los pseudo espacios de forma tres dimensionales de R2;2: Deduciremos una formula generalizada de Weierstrass de una superficie Lorentziana en R2;2: Finalmente usaremos la fórmula de representación para dar la descripción local de una superficie Lorentziana plana con haz normal plano y aplicación de Gauss regular en R2;2; y para dar una descripción conforme de una superficie Lorentziana plana en las pseudo esferas de R2;2: