Fibraciones sobre superficies regladas

Abstract

The goal of this thesis is the analysis of fibrations of base P1. In particular, we study the following problems: 1. To give a lower bound to the slope in the case that the surface is rational. 2. Given a fibration with five singular fibers and F the general fiber, I prove that (KX+F)2 = 0, unless possibly in the case that the minimal model of surface is rational and the genus of the general fiber is lower or equal that seventeen. Since the study of the slope of a fibration over a rational surface, is equivalent to study K2f, in other words the self-intersection of the relative canonical divisor of the fibration, the strategy to give a lower bound to the slope splits out into two parts. To give a lower bound to K2f , assuming that for all 1 ≤ l ≤ n, the adjoint divisors to positive part of the l-adjoint linear system to the general fiber define a birational map. Then, I give the conditions in order to the adjoint to the positive part of n-adjoint linear system to the general fiber is effective and defines a birational map. Finally, taking into account the characteristics of fibration the surface is birationally ruled. Moreover, the adjoint divisor to the general fiber is nef, so it follows that the self-intersection is non negative. An important tool is the Miyaoka-Vojta-Tan’s inequality.

El objetivo de esta tesis es el análisis de fibraciones de base P1. En particular, estudiamos los siguientes problemas: 1. Dar una cota inferior para la inclinación en el caso en que la superficie es racional. 2. Dada una fibración con cinco fibras singulares y F la fibra general, demuestro que (KX + F)2 = 0, excepto posiblemente en el caso en que el modelo minimal a la superficie sea racional y el género de la fibra general es menor o igual que diecisiete. Dado que el estudio de la inclinación de una fibración sobre una superficie racional, es equivalente a estudiar K2f, en otras palabras, la autointersección del divisor canónico relativo a la fibración, la estrategia para dar una cota inferior a la inclinación, se divide en dos partes: Dar una cota inferior para K2f, asumiendo que para todo 1 ≤ l ≤ n, los divisores adjuntos a la parte positiva del l-sistema lineal adjunto a la fibra general define una aplicación birracional. Luego doy las condiciones para que el adjunto a la parte positiva del n-sistema lineal adjunto a la fibra general sea efectivo y defina una aplicación birracional. Finalmente, tomando en cuenta las características de la fibración la superficie es birracionalmente reglada. Además, el divisor adjunto a la fibra general es nef, de donde se deduce que su autointersección es no negativa. Y una herramienta importante es la desigualdad de Miyaoka-Vojta-Tan.