This thesis is based on a description of processes of accretion of matter towards black holes. The matter model that is used is a relativistic kinetic gas, which is based on a description through the one-particle distribution function on the phase space and whose dynamics is given by the relativistic Liouville equation (i.e. the collisionless Boltzmann equation). We formulate the kinetic theory mathematically on the cotangent bundle of the spacetime manifold. Then, we focus on solving the Liouville equation over a fixed spacetime without any assumptions about the symmetries on the distribution of gas particles. To solve it, we use tools from the theory of integrable Hamiltonian systems; thanks to these tools we are able to solve the problem by trivializing the Liouville vector field by expressing it in terms of action-angle variables. This allows us to find the most general solution that describes a distribution of collisionless particles over this geometry. For accretion models where the matter falls into a Schwarzschild black hole, we calculate the physical observables such as the current density and energymomentum tensor. For the particular case of a distribution that is spherically symmetric and static, assuming that at infinity it corresponds to a distribution in thermodynamic equilibrium, the accretion rate in the low temperature limit is computed and shown to coincide with the value found previously through a Newtonian approximation by Shapiro and Teukolsky. However, with our work we obtain more details about the gas’ behavior from the analysis of the principal pressures at the horizon.
Esta tesis se basa en una descripción de procesos de acreción de materia hacia agujeros negros. El modelo de materia que se utiliza es conocido como teoría cinética relativista de los gases, la cual se basa en una descripción a través de una función de distribución de una partícula en el espacio de fase y cuya dinámica está dada por la ecuación de Liouville relativista (Boltzmann sin colisiones). Nosotros formularemos matemáticamente la teoría cinética sobre el espacio cotangente asociado a la variedad. Luego, nos enfocamos en resolver la ecuación de Liouville sobre un espacio tiempo fijo sin asumir ninguna simetría sobre la distribución del gas. Para resolverla usamos herramientas provenientes de los sistemas Hamiltonianos integrables, gracias a lo cual, se logra trivializar el campo vectorial de Liouville descrito en términos de las variables de acción-ángulo y con ello se encuentra la solución más general que describe a una distribución de partículas sobre esta geometría. En el caso de un modelo de acreción donde la materia cae hacia un agujero negro tipo Schwarzschild, nosotros calculamos los observables físicos como la corriente y el tensor de energía impulso. A partir de esto y asumiendo que la distribución es esféricamente simétrica y estática, además que, en el infinito, la distribución corresponde a una distribución en equilibrio termodinámico, se reprodujo el valor para la tasa de acreción en el límite de temperaturas bajas, la cual coincide con valores conocidos previamente a partir de cálculos basados en la teoría Newtoniana discutidos por Shapiro y Teukolsky. Sin embargo, en nuestro trabajo podemos obtener más detalles sobre el comportamiento del gas a partir del análisis de las presiones principales en el horizonte.
