Normalidad y más en productos caja

Abstract

This document collect the work done by the author in his PhD program. In the theory of Discretely Generated Spaces are solved the Problems 3.19 and 3.3 in [41]. Problem 3.19: Does the space {ξ} ᴜ ω embed into a box product of real lines when ξ ϵ β ω \ ω? We answer negatively. Problem 3.3: Is any box product of first countable spaces discretely generated? We answer positively by assuming the factors are regular. Later, we proved a result about one of the important objects in Set Theory, the so called ᴪ(A)-spaces defined from a collection A of subsets of natural numbers. It is proved that there are c-many ᴪ(A)-spaces pairwise non-homeomorphic whose underlying collections are pairwise homeomorphic view as subspaces of the Cantor set. Finally, the main work in this document is about the problem of normality in countable Box Products: it is unknown if the countable box product of the convergent sequence is normal in ZFC or if it is non-normal in some model of ZFC. We give a wide study of the topic and open a new line of research involving the topological property of monotone normality.

El presente documento es una recopilación del trabajo realizado por el autor en su programa doctoral. Dentro de la teoría de los Espacios Discretamente Generados se resuelven los Problemas 3.19 y 3.3 en [41]. Problema 3.19: ¿El espacio {ξ} ᴜ ω se encaja en un producto caja de rectas reales, para algún ξ ϵ β ω \ ω? Respondemos negativamente. Problema 3.3: ¿Es cualquier producto caja de espacios primero numberables discretamente generado? Respondemos positivamente suponiendo que los factores son regulares. Posteriormente, probamos un resultado sobre uno de los objetos importantes de la Teoría de Conjuntos, los llamados ᴪ(A) definidos a través de una colección A de subconjuntos de números naturales. Se demuestra que existen c espacios ᴪ(A) no homeomorfos por pares, pero cuyas colecciones subyascentes sí son homeomorfas por pares vistas como subespacios del conjunto de Cantor. Finalmente, el trabajo principal de este documento trata sobre el problema de la normalidad en los Productos Caja numerables: no se sabe si el producto caja numerable de la sucesión convergente es normal en ZFC o no normal en algún modelo de ZFC. Realizamos un estudio amplio de este tema abriendo una nueva dirección de investigación que involucra la propiedad topológica de normalidad monótona.