Selecciones continuas, números primos y una propiedad tipo cubierta

Abstract

Let (X, τ ) be a Hausdorff space and n ϵ ω. We prove that if X admits a continuous selection over Fn(X) (nonempty subsets of X of cardinality at most n), then for every n ≤ m ≤ 2n such that m is not a prime number, X admits a continuous selection over [X]m (subsets of X of cardinality m). As a consequence of this, a space X admits a continuous selection for every natural number if and only if the same is true for every prime number. For Hausdorff spaces (X, τ) which admit continuous selections over [X]2, we characterize the existence of continuous selections over [X]n for n ≥ 2, in terms of a covering-type property.

Sea (X, τ) un espacio Hausdorff y n ϵ ω. Probamos que si X admite una selección continua sobre Fn(X) (los subconjuntos no vacíos de X de cardinalidad a lo más n), entonces para cualquier n ≤ m ≤ 2n tal que m no es un numero primo, X admite una selección continua sobre [X]m (los subconjuntos de X de cardinalidad m). Como consecuencia de esto, un espacio X admite una selección continua para cualquier número natural si y solo si lo mismo es cierto para cualquier número primo. Para espacios Hausdorff (X, τ) que admiten selecciones continuas sobre [X]2, caracterizamos la existencia de selecciones continuas sobre [X]n, para n ≥ 2, en términos de una propiedad tipo cubierta.