Matrices de diferenciación aplicadas en EDP's

Abstract

The partial differential equations are equations involving unknown functions of several variables and their respective partial derivatives, these equations form part of physical and engineering models; for reasons of complexity, its treatment uses numerical analysis. Numerical analysis is a branch of mathematics that studies ways of solving numerically and approximate various problems in applied sciences that are too complex to solve analytically or simply have no other form of reduction. Thus numerical analysis is of vital importance in solving partial differential equations in applied mathematics and is especially useful when the equation has no analytical solution because it is of irregular, non-homogeneous boundaries or non-linear equations; it is here that the numerical analysis facilitates the development of the problem by providing an approximate solution to the problem. There are different numerical methods for solving EDP's Finite Differences: The approximation of derivatives by means of finite differences is one of the classic numerical methods that solve partial differential equations with boundary conditions, in hyperbolic equations, especially quasilineal equations that allow discontinuous solutions. It consists of approximating the derivatives that intervene in the equations at certain points in the domain using interpolation polynomials. Finite Elements: It is a general numerical method for the approximation of solutions of partial differential equations associated with physical problems on complicated geometries, they are used in design and improvement of products of industrial applications as well as simulation of complex physical and biological systems. In order to obtain this type of method a partition is introduced in the problem domain and based on this partition, we introduce approximate functions and the solution is expressed as a superposition of the approximate functions. Finally the coefficients in this expansion are obtained using the heavy residues method.

Las ecuaciones diferenciales parciales son ecuaciones que involucran funciones desconocidas de varias variables y sus respectivas derivadas parciales, dichas ecuaciones forman parte de modelos físicos y de la ingeniería; por razones de complejidad su tratamiento recurre al análisis numérico. El análisis numérico es una rama de las matemáticas que estudia formas de resolver de manera numérica y aproximada diversos problemas en las ciencias aplicadas que son muy complejos como para resolver de manera analítica o que simplemente no tienen otra forma de reducción. Así el análisis numérico es de vital importancia en la solución de ecuaciones diferenciales parciales en la matemática aplicada y es especialmente útil cuando la ecuación no tiene solución analítica por ser de fronteras irregulares, no homogéneas o ser ecuaciones no lineales; es aquí cuando el análisis numérico facilita el desarrollo del problema proporcionando una solución aproximada al problema. Existen diferentes métodos numéricos para resolver EDP’s Diferencias Finitas: La aproximación de las derivadas por medio de diferencias finitas es uno de los métodos numéricos clásicos que resuelven ecuaciones diferenciales parciales con condiciones de frontera, en ecuaciones hiperbólicas, especialmente cuasilineales las cuales admiten soluciones discontinuas. Consiste en aproximar las derivadas que intervienen en las ecuaciones en ciertos puntos del dominio usando polinomios de interpolación. Elementos Finitos: Es un método numérico general para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales asociados a problemas físicos sobre geometrías complicadas, se usan en diseño y mejora de productos de aplicaciones industriales así como simulación de sistemas físicos y biológicos complejos. Para obtener este tipo de método se introduce una partición en el dominio del problema y con base en dicha partición se introducen funciones aproximantes y la solución se expresa como una superposición de las funciones aproximantes. Finalmente los coeficientes en esta expansión se obtienen utilizando el método de residuos pesados.