Modelado de problemas de aguas someras en regiones irregulares utilizando un esquema de diferencias finitas generalizadas

Abstract

The Shallow-water equations permit to model different problems in nature related with lakes and ponds, however, to this day there are very few schemes for the solution or approximation that can be easily applied in non-rectangular regions, and this is a serious limitation for the method. In recent years many finite difference schemes have been designed for the numerical approximation of different Partial Differential Equations in plane regions that accomplish to be non-rectangular and non-symmetrical. An example of these works is the one developed in [8], where the solution of the advection equation in plane irregular regions is obtained. In order to work in this kind of regions it is necessary to have grids with certain desired geometrical characteristics: the distribution of the cell areas, which form the grid, should be as uniform as possible, the sides of every cell must also be as orthogonal as possible, and the variation of the coordinate lines doesn't have abrupt changes. In this work a brief revision of the numerical grid generation methods is done, and also a review of the schemes designed to approximate advection and diffusion equations in plane irregular regions is done. Moreover, some stability and convergence studies for the previously shown schemes is made. After this revision, it is presented the deduction of the Shallow-water equations showing all the necessary steps to obtain them, afterwards, the designed schemes to approximate the solution to Shallow-water equations is shown, first in rectangular regions, and after in some irregular regions, even in domains that are approximations to real geographical locations.

Las ecuaciones de aguas someras nos permiten modelar problemas en la naturaleza relacionados con lagos y estanques, sin embargo, a la fecha existen pocos esquemas para la solución o aproximación de la solución que sean fácilmente aplicables a regiones no rectangulares, y esto es una seria limitación para la mayoría de los métodos. En los últimos años se han diseñado esquemas basados en diferencias finitas para la aproximación de diferentes Ecuaciones Diferenciales Parciales en regiones planas que cumplan con ser no rectangulares y asimétricas. Un ejemplo de estos trabajos es el trabajo desarrollado en [8], donde se trata la solución de la ecuación de advección en regiones planas irregulares. Para trabajar con este tipo de regiones es necesario contar con mallas que cumplan con ciertas características geométricas deseables: que la distribución de las áreas de las celdas que las forman sea lo más uniforme posible y que los lados de cada celda sean lo más ortogonales posibles o que la variación de las pendientes en las líneas coordenadas no sea grande. En este trabajo se hace una breve revisión de los métodos de generación numérica de mallas y, además, se hace un repaso de los esquemas diseñados para aproximar la ecuación de advección en regiones planas irregulares; también se muestran algunos estudios de estabilidad y convergencia de los métodos previamente diseñados. Tras hacer esta revisión, se presenta la deducción de las ecuaciones de aguas someras mostrando todos los pasos necesarios para obtenerlas; posteriormente se muestran esquemas para aproximar la solución de dichas ecuaciones primeramente en regiones rectangulares y, posteriormente, en regiones más irregulares, llegando incluso a un dominio que es aproximación de una región geográfica real.