In this thesis the main purpose was to research the edge detection in digital images, an image processing problem. We mainly analyzed two ways to achieve edge detection, first using finite differences in adaptive grids, and second an algorithm that we developed and that will be refer to as strong algorithm. In the case of adaptive grids, an adaptive harmonic functional was used. Since the main problem of generation of adaptive grids is to solve a large scale optimization problem, we used the LBFGS method. The finite differences are used in adaptive grids when the mentioned functional is discretized. To generate adaptive grids, we used different ways to achieve it, using the LBFGS method, and using strong algorithm and LBFGS together, the results obtained are of interest, because we get features as robust edge detection and convexity. On the other hand, we proposed strong algorithm during the elaboration of this work, because in an attempt to reduce data usage in adaptive grid generation, we developed some ideas that simplify which data to use from the digital image, strong algorithm is based in the local nature of intensity function, as well as a classification of regions in the intensity function, then the ideas that compose strong algorithm are simple, this implies that strong algorithm is not expensive and the results are interesting. It is important to point out that, up to our knowledge, there is not an algorithm to the strong one. Another way that we researched for edge detection was to use finite difference in adaptive grids in the filter of Perona-Malik. In this thesis we present the basic theory of digital images, a basic description of some famous filters used for edge detection, the theory of general, variation and adaptive grid generation, the formulation of Strong algorithm, the theory of generalized finite differences and the results obtained with the different methodologies mentioned.
En la presente tesis se tuvo como propósito abordar el problema de detección de bordes, el cual es un problema del procesamiento de imágenes digitales. Principalmente se analizaron dos formas de llevar a cabo la detección de bordes, las cuales son el uso de diferencias finitas en mallas adaptativas y un método propuesto durante el presente trabajo, el cual denominamos algoritmo Fuerte. En el caso de mallas adaptativas se empleó el funcional armónico de suavidad adaptativo. Dado que el principal desafío en la generación de mallas adaptativas es la solución de un problema de optimización a gran escala, entonces se empleó el método LBFGS. Las diferencias finitas, en el caso de mallas adaptativas, son usadas durante la discretización del funcional utilizado. Para la generación de mallas adaptativas se investigaron distintos caminos, tales como la generación de mallas adaptativas usando el método LBFGS y el algoritmo Fuerte en conjunto con el método LBFGS, los resultados obtenidos con estas metodologías son bastante interesantes, pues fueron obtenidas características buscadas en las mallas, como la calidad en detección en los bordes y la convexidad de la malla. Por otra parte, el algoritmo Fuerte surgió durante la elaboración de esta tesis, pues en un intento de reducir la cantidad de datos al generar mallas adaptativas, se plantearon ideas que simplificaban la elección de los datos de la imagen a utilizar, el algoritmo Fuerte tiene como única inspiración la naturaleza local de la función de intensidad de una imagen, así como una clasificación de regiones en dicha función, por tanto las ideas y la formulación del algoritmo Fuerte son bastante simples, el algoritmo Fuerte no es costoso computacionalmente y tiene buena calidad en sus resultados.
