Modelado de problemas de convección natural difusiva doble usando diferencias finitas generalizadas

Abstract

Throughout history, man has created different ways of expressing mathematically the physical problems he has been facing. Little by little, mathematics evolved and improved to express physical phenomena more clearly and simply; Nowadays the most usual thing is to use differential equations to create the mathematical models that describe these physical phenomena; or failing that, in more complicated phenomena differential equation systems are used, these systems may be non-linear, and may also be coupled. In this work we will use a method called generalized finite differences, which is used to solve differential equations. This method is based on another that is known as finite differences. The difference between the two is that the second one needs to be implemented in node meshes with a certain structure, while the first one can work with unstructured meshes. The generalized finite difference method will be used to solve a diffusion reaction problem, which is called natural convection with double diffusivity in a saturated porous medium within a parallelogram, this problem is in two dimensions due to which is considered a domain within a parallelogram. This phenomenon can be described with a system of three coupled partial differential equations, and because they are multiplied by derivatives of the functions to be found, then the system is also nonlinear.

A lo largo de la historia el hombre ha ido creando diferentes formas de expresar con matemáticas los problemas físicos a los que se ha ido enfrentando. Poco a poco las matemáticas fueron evolucionando y mejorando para expresar de forma más clara y sencilla fenómenos físicos; hoy ¿en día lo más usual es utilizar ecuaciones diferenciales para crear los modelos matemáticos que describen estos fenómenos físicos; o en su defecto, en fenómenos más complicados, usar sistemas de ecuaciones diferenciales, estos sistemas pueden ser no lineales, y además pueden estar acoplados. En este trabajo se usará un método llamado diferencias finitas generalizadas, el cual se usa para resolver ecuaciones diferenciales. Este método está basado en otro que es conocido como el método de diferencias finitas. La diferencia entre ambos es que el segundo necesita implementarse en mallas de nodos con cierta estructura, mientras que el primero puede trabajar con mallas sin estructura. El método de diferencias finitas generalizadas será usado en este trabajo para resolver un problema de reacción difusión, el cual es tiene el nombre de convección natural con doble difusividad en un medio poroso saturado dentro de un paralelogramo, este problema es en dos dimensiones debido a que se considera un dominio dentro de un paralelogramo. Este fenómeno puede ser descrito con un sistema de tres ecuaciones diferenciales parciales acopladas, y que debido a que se multiplican derivadas de las funciones que se desean encontrar, entonces el sistema también es no lineal.