Puntos fijos complejos en diagramas de bifurcación

Abstract

The present work exposes an alternative to determine fixed points and complex fixed points of a system of ordinary differential equations (ODEs), this allows complex bifurcation diagrams display. These diagrams reflect an oscillatory behavior of the dynamical system associated with the system of ordinary differential equations. To generate complex bifurcation diagrams, the problem of search of roots of a system of equations is transformed to an optimization problem. This problem is solved by the algorithm of particle swarm optimization (PSO), which optimizes a problem as from a population of candidate solutions. PSO is adapted for the purpose of creating an initial population that is able to explore a solution space in the complex plane. A problem because the calculation of complex roots, is the increasing number of dimensions to project in bifurcation diagrams. This because the number of state variables is doubled because of the increase of the imaginary part of these. The implementation of methods of displaying high dimensionality is proposed to visualize the solutions or fixed points of a system of equations. This provides an alternative to the usual diagrams bifurcation. In addition, are presented the bifurcation diagrams with complex fixed points several case studies, in which are shown solutions for certain values of the bifurcation parameters that were not displayed in the bifurcation diagrams with real fixed points.

La presente tesis expone una alternativa para determinar además de los puntos fijos reales, los puntos fijos complejos de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO's), esto permite visualizar diagramas de bifurcación complejos. Estos diagramas reflejan los comportamientos oscilatorios que sufre el sistema dinámico asociado a un sistema de EDO's. Para generar los diagramas de bifurcación complejos el problema de búsqueda de raíces de un sistema de ecuaciones se transforma a un problema de optimización. Este problema es abordado mediante el algoritmo de optimización por enjambre de partículas (PSO), que permite optimizar un problema a partir de una población de soluciones candidatas. PSO está adaptado con el propósito de crear una población inicial que sea capaz de explorar un espacio de soluciones en el plano complejo. Un problema aunado al cálculo de las raíces complejas incide en el aumento del número de dimensiones para proyectar en los diagramas de bifurcación. Esto debido a que el número de las variables de estado se duplica a causa del aumento de la parte imaginaria de éstas. Se propone la implementación de métodos de visualización de alta dimensionalidad para visualizar las soluciones o puntos fijos de un sistema de ecuaciones. Esto proporciona una alternativa a los habituales diagramas de bifurcaci on. Adem as, se presentan los diagramas de bifurcaci on con puntos fijos complejos de diversos casos de estudio, en los cuales se muestran soluciones para ciertos valores de los parámetros de bifurcaci on que no se mostraban en los diagramas de bifurcaci on con puntos fijos reales.