A new method in the time domain frame of reference based on the Krylov subspaces for the study of the stability of periodic solutions of non-linear electrical networks is presented in this thesis. This method, called Jacobian Free Poincaré-Krylov, uses the Poincaré map method to calculate the periodic solution of the system, where a Newton method is used to solve the non-linear algebraic equations. The Krylov subspace method based on an iterative GMRES algorithm (Generalized Minimal Residial method) is applied to solve the correction equations of the Newton method instead of applying a direct method of the Gaussian elimination type. Further, a QR factorization at the Hessenberg matrix involved in the GMRES least square problem is implemented using Givens rotations in order to improve even further the solution of large-scale power networks. More importantly, the Jacobian Free Krylov subspace method presented in this work avoids calculating the state transition matrix, reducing the computational complexity of the analysis. In addition, the stability of the periodic solution is determined by calculating the Floquet multipliers using the Ritz values and the Hessenberg matrix, which arises naturally as a product of the Krylov subspace. The proposed numerical method, both for the calculation of the periodic steady-state solution and for the determination of the stability of the electrical network, is validated with the standard Poincaré map method and results obtained through a PSCAD / EMTD program. The study cases are a synchronous generator connected to an infinite bus, a modified three-phase version of the IEEE 9-node system and a modified three-phase version of the IEEE 118-node system with a hydraulic turbine synchronous generator and a grid connected power electronics converter.
En esta tesis se propone un nuevo método en el dominio del tiempo basado en el subespacio de Krylov para el estudio de la estabilidad de soluciones periódicas de redes eléctricas no lineales. Este método, denominado Poincaré-Krylov sin Jacobiano (PKSJ-QR), utiliza el método del mapa de Poincaré para el cálculo de la solución periódica del sistema, en donde se usa un método Newton para resolver las ecuaciones algebraicas no lineales resultantes. Se aplica el método de subespacios de Krylov basado en el algoritmo iterativo del Residuo Mínimo Generalizado (GMRES) para resolver las ecuaciones de corrección del método Newton. Además, la matriz de Hessenberg en GMRES se transforma en una matriz triangular superior mediante una factorización QR basada en rotaciones Givens para resolver redes eléctricas de gran escala de forma eficiente. Más importante aún, el método de subespacios de Krylov sin jacobiano presentado en este trabajo evita calcular la matriz de transición de estado, reduciendo la complejidad computacional del análisis. Además, la estabilidad de las soluciones periódicas se determina con un nuevo procedimiento que calcula los multiplicadores de Floquet mediante los valores Ritz y la matriz de Hessenberg que surge de forma natural en GMRES. El método numérico propuesto, tanto para el cálculo de las soluciones periódicas como para la determinación de la estabilidad de la red eléctrica, se valida con los resultados obtenidos mediante la simulación en PSCAD/EMTDC y el método del mapa de Poincaré estándar. Los casos de estudio corresponden a un generador síncrono conectado a un bus infinito, una versión trifásica modificada del sistema IEEE 9-nodos y una versión trifásica modificada del sistema IEEE 118-nodos con un generador síncrono de turbina hidráulica y un convertidor de electrónica de potencia conectado a la red.
