Sobre cubrientes ramificados entre superficies de Riemann

Abstract

It is said that the theory of topological coverings was introduced by Schwarz on his way to prove the Uniformization Theorem [1], but surely this topological notion was well understood by Riemann, since it arises naturally in the study of multivalued holomorphic functions. Knowing this idea, Riemann was able to extend the domain of the function […] continuously (analytical continuation) to a maximal domain, this domain to which this function was extended was obtained from the proper pasting of two copies of C \ {0} and the extended function is a topological covering, this fact marked the beginning of the theory of Riemann Surfaces. In this work we study the branched coverings, a generalization of the topological coverings; as well as their relationship with the holomorphic functions between two Riemann Surfaces and their critical points. In particular, every holomorphic function between Riemann Surfaces gives rise to a branched covering, we will see what can be said, about the converse of this statement. In addition, we study the possible branched coverings of the Riemann sphere, as well as its Galois coverings, which are a particular subset of branched coverings. After, we define the monodromy representation of a branched cover, the said representation provides qualitative information about the behavior of the branched cover near its critical points and values, finally we give an explicit way of how to calculate the monodromy representation for a particular subset of holomorphic functions.

Se dice que la teoría de cubrientes topológicos fue introducida por Schwarz en su camino por demostrar el Teorema de Uniformización [1], pero seguramente esta noción topológica era bien entendida por Riemann, pues surge naturalmente en el estudio de funciones holomorfas multivaluadas. Conociendo esta idea, Riemann pudo extender el dominio de la función [..] de manera continua (continuación analítica) a un dominio maximal, este dominio al cual se extendió dicha función se obtuvo del pegado apropiado de dos copias de C\ {0} y la función extendida es un cubriente topológico, este hecho marcó el comienzo de la teoría de Superficies de Riemann. En este trabajo se estudian los cubrientes ramificados, una generalización de los cubrientes topológicos; así como su relación con las funciones holomorfas entre dos Superficies de Riemann y los puntos críticos de estas. En particular toda función holomorfa entre Superficies de Riemann da lugar a un cubriente ramificado, veremos que se puede decir, sobre el recíproco de este enunciado. Además, estudiamos los posibles cubrientes ramificados de la esfera de Riemann, así como sus cubrientes de Galois, los cuales son un subconjunto particular de cubrientes ramificados. Después definimos la representación de monodromía de un cubriente ramificado, dicha representación provee información cualitativa acerca del comportamiento del cubriente ramificado cerca de sus puntos y valores críticos, finalmente damos una forma explícita de como calcular la representación de monodromía para un subconjunto particular de funciones holomorfas.