Una aplicación del teorema de Halpern-Laüchli a subconjuntos perfecto

Abstract

Let P be a perfect subset of the real line and suppose we have a finite open partition of [P]2; then there exists Q a perfect subset of P such that [Q]2 is contained in a single piece of the partition. The generalization of this result for n ≥ 3 is false. Given P a perfect subset of the real line, it is possible to find a finite open partition of [P]n (n ≥ 3) such that there aren’t monochromatics perfect subsets. Galvin conjetured that in the case n ≥ 3, we can’t get a monochromatic perfect subset of P, but it is possible to get a perfect subset such that intersects at most (n - 1)! of the pieces. Galvin proved the case n = 3 in 1961. Finally, in 1981 Andreas Blass proved the generalization of the Galvin’s Theorem for arbitrary finite dimensions. In this job we present the necessary material to understand and develop the proof of the Blass’s Theorem, in addition to analyzing some consequences of this.

Sea P un subconjunto perfecto de la recta real y consideremos una partición finita y abierta de [P]2; entonces existe Q subconjunto perfecto de P tal que [Q]2 está contenido en un solo pedazo de la partición. La generalización natural de este resultado para n ≥ 3 es falso. Dado P un subconjunto perfecto de la recta real, es posible encontrar una partición finita y abierta de [P]n (n ≥ 3) de modo tal que no existen subconjuntos perfectos de P monocromáticos. Galvin conjeturó que en el caso n ≥ 3, si bien no podemos encontrar subconjuntos perfectos monocromáticos, es posible encontrar subconjuntos perfectos que intersectan a lo más a (n - 1)! pedazos de la partición. El mismo Galvin demostró el caso n = 3 en 1961. Finalmente, en 1981 Andreas Blass demostró la generalización del resultado de Galvin para dimensiones finitas arbitrarias. En el presente trabajo se presenta el material necesario para entender y desarrollar la demostración del Teorema de Blass, además de analizar algunas consecuencias de este.