El problema de Grünbaum-Hadwiger-Ramos para asignaciones de masa

Abstract

In this thesis we apply methods from algebraic topology to a problem in discrete geometry. To be more precise, the question involves a mass partition problem, whereas the methods include spectral sequences and a cohomological ideal-valued index theory. In Chapter 1 we introduce some necessary terminology and the classical mass partition problem known as the Grünbaum-Hadwiger-Ramos problem for masses. We provide some history around said problem, as well as the most relevant results obtained in the last few years. Finally, motivated by the recent work of Patrick Schnider, we present an extension of this classical mass partition problem to the so-called mass assignments. In the following three chapters we talk about the tools we use to prove the proposed extension of the Grünbaum-Hadwiger-Ramos mass partition problem. In Chapter 2 we describe the configuration space/test map scheme, which provides a bridge between geometry and topology. The idea is to rephrase the geometric problem in topological terms to solve it using techniques from algebraic topology. What follows then is to introduce such techniques. In Chapter 3 we present a brief introduction of the cohomological Leray-Serre spectral sequence associated to a fibration. Particularly, this spectral sequence allows to obtain information about and in some cases fully calculate the cohomology ring of the total space of the fibration, as well as the induced homomorphism in cohomology. Next, in Chapter 4 we introduce the Fadell-Husseini index theory and some of its most important properties. Here the Leray-Serre spectral sequence is essential for all the computations.

En la presente tesis aplicamos métodos de topología algebraica a un problema de geometría discreta. Para ser más precisos, el problema en cuestión es un problema de particiones de medidas, mientras que los métodos utilizados incluyen sucesiones espectrales y teoría de índice cohomológica ideal-valuada. En el capítulo 1 introducimos la terminología necesaria y el problema clásico de particiones de medidas conocido como el problema de Grünbaum-Hadwiger-Ramos para masas. Presentamos también algo de historia referente a dicho problema, así como los resultados más relevantes obtenidos en los últimos años. Finalmente, motivados por el reciente trabajo de Patrick Schnider, presentamos una extensión del problema clásico a las llamadas asignaciones de masa. En los siguientes tres capítulos hablamos de las herramientas que vamos a utilizar para probar la extensión propuesta del problema de Grünbaum-Hadwiger-Ramos. En el capítulo 2 describimos el método de la función de prueba, el cual provee un puente entre la geometría y la topología. La idea principal de este método es reescribir nuestro problema geométrico en términos topológicos, para luego resolverlo usando técnicas de topología algebraica. Lo que sigue es introducir dichas técnicas. En el capítulo 3 presentamos una breve introducción de la sucesión espectral de Leray-Serre asociada a una fibración. Esta sucesión espectral, entre otras cosas, nos permite obtener información del anillo de cohomología del espacio total de la fibración, así como del correspondiente homomorfismo inducido en cohomología. Luego, en el capítulo 4, introducimos la teoría de índice de Fadell-Husseini y presentamos algunas de sus propiedades más importantes. Es en esta parte donde el uso de la sucesión espectral del Leray-Serre se vuelve esencial para los cálculos.