Métodos numéricos y elaboración de programas de cómputo para el cálculo de los valores característicos y la importancia de éstos en el análisis modal de una estructura

Abstract

In this paper the contribution of numerical analysis to obtain the eigenvalues and eigenvectors is presented and how it is that these are related to the modal analysis and consequently in the dynamic response of a structure. Given an external action, different structures will react in different ways. This response is closely related to the forms or modes of vibration and their frequencies and / or own periods. These variables are a function of the characteristic values and vectors can generate structures according to their properties and depending on them a suitable behavior of the same is ensured. The problem of calculating eigenvalues and eigenvectors appears in many cases related to problems of vibrations and resonances, with the principal moments of inertia, the stress tensor, etc. From a purely mathematical point of view this problem arises in the study of the convergence of iterative methods in the stability analysis of dynamical systems, etc. The management of these terms carry the knowledge of various calculation methods for obtaining and depending on the mode of application and approach so that it will be necessary to use the result. What causes the need to automate these processes through the creation of computer programs developed to facilitate the management of data and provide the desired results. A method that can develop as algorithm and consequently, developed by a computer program to calculate the characteristic values to which it gets faster and easier their preparation are also presented.

En este trabajo se presenta la aportación del análisis numérico para la obtención de los valores y vectores característicos y como es que estos tienen que ver en el análisis modal y en consecuencia en la respuesta dinámica de una estructura. Ante una acción exterior, distintas estructuras reaccionarán de formas diferentes. Esta respuesta está íntimamente relacionada con las formas o modos de vibrar y sus correspondientes frecuencias y/o periodos propios. Estas variables están en función de los valores y vectores característicos que las estructuras puedan generar de acuerdo a sus propiedades y dependiendo de éstos se garantizará un comportamiento adecuado de las mismas. El problema de cálculo de valores y vectores propios aparece en muchas ocasiones relacionado con problemas de vibraciones y resonancias, con los momentos principales de inercia, con el tensor de esfuerzos, etc. Desde un punto de vista puramente matemático este problema surge en el estudio de la convergencia de métodos iterativos, en el análisis de la estabilidad de sistemas dinámicos, etc. El manejo de estos términos conllevan el conocimiento de varios métodos de cálculo para su obtención y dependiendo del modo de aplicación y la aproximación que se utilice así mismo será de preciso el resultado. Lo que origina la necesidad de automatizar estos métodos mediante la creación de programas de cómputo elaborados para que faciliten el manejo de los datos y que ofrezcan los resultados deseados. También se presenta un método que pueda desarrollarse como algoritmo y, en consecuencia, desarrollado por medio de un programa de cómputo para el cálculo de los valores característicos con el cual se hace más rápida y sencilla su obtención.